طريقة تحديد مجموعة تعريف دالة ( عموميات حول الدوال ) 2014/2015

في هذا الدرس نذكر بمفهوم دالة عددية و نتعرف على طريقة تحديد مجموعة تعريف دالة إنطلاقا من مجموعة من الأمثلة و نستعرض بعض الحالات التي يجب أن نحدد فيها مجموعة تعريف دالة عددية.

1- مفهوم دالة - مجموعة تعريف الدالة - حساب الصور بدالة :



تعريف :

D مجال أو إتحاد مجالات من مجموعة الأعداد الحقيقية IR.
نعرف دالة على مجال D من مجموعة الأعداد الحقيقية IR، يعني أننا نقرن كل عدد حقيقي x من D بعنصر وحيد نرمز له ب (f(x.
نسمي D مجموعة تعريف الدالة أو نقول أننا عرفنا الدالة f على المجال D.
العدد الحقيقي (f(x يسمى صورة العدد x بالدالة f.

أمثلة :
عندما نقرن مثلا كل عدد حقيقي x بالعدد x² + 3 نقول أننا عرفنا دالة f على مجموعة الأعداد الحقيقية IR حيث :
f(x) = x² + 3، و نكتب : Df = IR. ولدينا :
f(0) = 0² + 3 = 3
f(2) = 2² + 3 = 4 + 3 = 7
f(-4) = (-4)² + 3 = 16 + 3 = 19
f(√2) = (√2)² + 3 = 2 + 3 = 5
عندما نقرن مثلا كل عدد حقيقي موجب x بالعدد x√ نقول أننا عرفنا دالة g على مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة +IR حيث:
g(x) = √x و نكتب : +Dg = IR. و لدينا :
g(0) = √0 = 0
g(1) = √1 = 1
g(5) = √5
g(9) = √9 = 3
لاحظوا اننا لن نتكمن من حساب صور الأعداد الحقيقية السالبة لأن الدالة g هي معرفة فقط على الأعداد الحقيقية الموجبة +IR.





خلاصة :

تحديد مجموعة تعريف دالة عددية يعني إيجاد مجموعة الأعداد التي يمكن أن نحسب صورها بهذه الدالة.






2- متى و كيف نحدد مجموعة تعريف دالة :
أحيانا لن نكون مطالبين بتحديد مجموعة تعريف دالة : مثلا إذا قيل لك أن دالة h معرفة على المجال [5 ; 4-] حيث:
h(x) = x + 3 فأنت لاتحتاج تحديد مجموعة تعريف هذه الدالة و بالتالي تكون مجموعة تعريف الدالة h هي :[Dh = [-4 ; 5.

عندما تكون مجموعة تعريف دالة f غير معطاة فهذا يعني أن مجموعة تعريف هذه الدالة هي مجموعة الأعداد الحقيقية IR إلا إذا إعترضنا عائق ما و يمكن أن نذكر بأهم العوائق التي قد تصادفها لتحديد مجموعة التعريف :
1- المتغير x يوجد بالمقام :
نأخد كمثال الدالة


المتغير x يوجد بمقام الدالة . ونعلم أن مقام عدد حقيقي لا يمكن أن يساوي 0.
إذن هنا لا يمكننا أن نحسب صورة العدد 1 بالدالة f لأن 0 = 1 - 1 . و بالتالي f معرفة على جميع الأعداد الحقيقية بإستثناء 1 و نكتب :



على المستقيم العددي :


وهذا تمثيلها المبياني :




2- المتغير x بداخل الجدر :
نأخد كمثال الدالة




المتغير x يوجد بداخل الجدر : ونعلم أن مابداخل الجدر يجب ان يكون أكبر من أو يساوي 0.
إذن هنا لا يمكننا أن نحسب صور الأعداد الأصغر من او تساوي 3 بالدالة g لأنه مثلا إذا أردنا أن نحسب صورة 1 بالدالة g سنحصل على 2- = 3 - 1 وهو عدد سالب . و بالتالي g معرفة على جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي 3 و نكتب :



على المستقيم العددي :

وهذا تمثيلها المبياني :



ملاحظة :

بهذه الدالة يمكن أن نحسب صورة العدد 3 و لدينا g(3) = √3-3 = 0. لهذا أغلقنا المجال على يسار 3 ووضعنا دائرة مملوءة دلالة على أن 3 ينتمي إلى مجموعة تعريف الدالة g.






المتغير x بداخل الجدر و بالمقام :
نأخد كمثال الدالة

المتغير x بالجدر و بالمقام. ونعلم أن مقام عدد حقيقي لا يمكن أن يساوي 0 و مابداخل يجب ان يكون أكبر من أو يساوي 0.
إذن هنا لا يمكننا أن نحسب صور الأعداد الأصغر قطعا من 3 بالدالة h. و لدينا :



على المستقيم العددي :

شكرا لك وبارك الله فيك
فهمتني الدرس جيدا الشرح بسيط ومتسلسل ومفهوم للغاية
بركت

شكرا لك اخي الكريم و جزاك الله خيرا

شكرا كثيرا لك اخي الكريم
جزاك الله خيرا